전원의 선택 - 실제의 전원, 내부저항(Internal Resistance)과 테브난의 등가회로(Thevnin's Equivalent)

이상적인 전원은 공급할 수 있는 전력(Power)에 제한이 없다고 했었죠. 실제의 전원은 어떤데요? 세상에 원하는 만큼 무한으로 받을 수 있는 것이 있겠습니까? 다 한계가 있는 것이지요.

우리가 만들었던 LED 모듈(Module)을 전지(Battery)로 켜 볼까요?

AAA 크기의 새 알카라인전지(Alkaline Battery) 1개의 전압(Voltage)이 1.5V이니까 4개를 직렬연결하면 되겠네요. 키르히호프의 전압 법칙(Kirchhoff's Voltage Law)이 그렇잖아요? 그래서, 전구에 전지를 2개 직렬연결하니 더 밝아졌었지요?

AAA 크기의 1.5V 알카라인 전지를 4개 직렬연결하여 만들었던 LED 모듈을 켜 보았습니다. 

같은 AAA 크기의 전지라도 망간전지(Zinc-carbon Battery)가 있습니다. 망간전지 1개의 전압도 1.5V이니까 망간전지 4개를 직렬연결한 전원을 사용하면 어떨까요?

그런데, 전지 중에는 이렇게 생긴 전지도 있습니다. 코인셀(Coin Cell)이라고 부릅니다. 이 전지는 1개가 3V 전압을 가지는데, 이 전지 2개를 직렬로 연결하여 전원으로 사용하면 어떨까요?

전자시계나 계산기 등에 사용되는 리튬 코인 전지(Lithum Coin Battery)입니다.

당연히 전지의 종류에 따라 용량이 다르니 용량에 따른 전지의 지속시간은 논외로 하고요. 

문제는 이런 전류를 지속적으로 끌어 당겨 사용을 하는 경우 이것을 공급하는 전지는 종류에 따라서 견디는 정도가 달라 우리가 원하는 전압을 지속적으로 공급하지 못하고 전압이 쑤욱 떨어진다는 것이죠. 전류를, 정확히 말하자면 전력을 전달하는 전지의 능력이 한계에 다다르게 되어 전압이 떨어지는 것이죠. 왜 배터리가 힘이 없다고 하는 말 들어 보셨죠? 이것은 비단 전지 뿐만이 아니고 함께 살펴 보겠지만, 다른 전원에도 동일하게 적용이 됩니다. 전지에서는 이 현상을, 전에도 한 번 언급한 적은 있지만, 내부저항(Internal Resistance)이라고 하여 해석을 하게 됩니다. 전지의 모델을 다시 한 번 살펴 보면, 이상적인 전압원(Ideal Voltage Source)와 직렬의 내부저항으로 나타낼 수가 있습니다. 

전지는 이상적인 전압원(Ideal Voltage Source)와 내부저항(Internal Resistance)로 나타냅니다.

전지의 화학적인 특성에 따라서 이 내부저항도 다릅니다. 전지가 계속 에너지를 소모하면서 내부저항이 눈에 띄게 커지기도 합니다. 이 내부저항에 의해서 원하는 만큼의 전력이 전달되지 않고 전압이 떨어지게 됩니다. 

전지의 내부 저항에 의하여 내부저항에 $V_S$만큼의 전압이 걸립니다. 왼쪽 그림에나 오른쪽 그림이나 같은 의미의 그림입니다. 파란색선 왼쪽은 전지의 내부가 되고, 오른쪽은 전지에 걸리는 부하(Load)입니다.

전지에 전류 부하(Current Load)가 연결이 되면 옴 선생님의 말씀에 따라 저항 성분에는 전압이 걸립니다. 내부저항도 마찬가지 입니다. 내부저항 $R_S$에는 $V_S=I{\times}R_S$ 만큼의 전압이 형성이 됩니다. 키르히호프의 전압 법칙에 따라 $V=V_S+V_L$이므로, 부하에는 $V-V_S$ 만큼의 $V_L$이 걸리게 됩니다. 전류 부하 $I$가 커지면 커질 수록 $V_S$가 커지니까 $V_L$이 낮아집니다. 부하(Load)에 공급되어야 할 전압의 최소값에 제한이 있는 경우, 거의 대부분 그렇습니다만, 회로는 원하는 동작을 하지 않을 수도 있습니다. 그래서, 충분히 전류 $I$를 공급하더라도 충분한 $V_L$이 공급되는 전원을 선택해야 하는 것이죠. 원하는 $I$에 대하여 충분한 $V_L$을 공급한다는 것은, $I{\times}V_L$, 즉 충분한 전력(Power)를 공급할 수 있다는 의미입니다. 

Energizer의 웹 페이지에서 여러 종류 전지의 핸드북을 찾을 수 있었습니다. 

• 알카라인 전지: https://data.energizer.com/pdfs/alkaline_appman.pdf
• 망간 전지: https://data.energizer.com/pdfs/carbonzinc_appman.pdf
• 리튬 코인 전지: https://data.energizer.com/pdfs/lithiumcoin_appman.pdf

시간이 된다면 한 번 살펴 보도록 하세요. 대략적으로 알카라인 전지는 초기 내부저항이 약 0.1Ω, 망간전지는 약 0.5Ω, 리튬 코인 전지는 약 10Ω 정도이니 내부저항 관점에서 본다면 $알라카인 전지 < 망간 전지 < 리튬 코인 전지$ 순입니다. 그러니 리튬 코인 전지를 사용하여 100mA니 200mA니 하는 전류를 소모하면 전압이 많이 떨어지게 되니까, 그런 부하에는 적합하지 않은 전원이 됩니다.

큰 전류를 지속적으로 소모를 하면 전지는 제 용량을 다 사용하지 못하게 된다고 하는데요, 에너지를 소모하면서 내부저항도 커지기 때문입니다. 또한 전지의 내부저항은 온도가 내려가면 더 커지게 됩니다. 겨울철에 자동차 시동 모터가 힘 없이 빌빌거리면 배터리가 힘이 없다고 하죠? 그와 같은 것입니다.

 

그런데 내부저항이 커진다고요? 정해져 있는 값이 아니고? 무슨 말일까요? 이것은 정말 저항이 있는 것이 아니고, 전압과 전류가 전달되는 것을, 즉 전력이 전달되는 것을 이상적인 전압원과 저항을 사용한 수학적인 모델이기 때문입니다. 이렇게 이상적인 전압원과 저항을 이용한 모델을 테브난의 등가회로(Thevnin's Equivalent)라고 하는데요, 회로는 모두 이렇게 간략한 수학적 모델로 표현할 수 있다는 테브난의 정리(Thevnin's Theorem)에 기초합니다.

테브난의 등가회로(Thevnin's Equivalent)는 이상적인 전압원(Ideal Voltage Source)와 테브난 저항(Thevnin Resistance)으로 표현이 되는데, 개방전압(Open-circuit Voltage)과 단락전류(Short-circuit Current)로부터 구해질 수 있습니다. 

테브난 등가회로(Thevnin's Equivalent)의 개념입니다. $V_{OC}$는 개방전압, $I_{SC}$는 단락전류, $R_{th}$는 테브난 저항을 의미합니다.

왼쪽 그림에서 $V_R$은 0V입니다. 왜요? 회로가 개방되어 있어서 전류가 0이니까요. $V_R=R_{th}{\times}0$ 따라서 개방된 단자의 양단에는 전압원의 전압이 그대로 나타납니다. 전류가 0일 때, 저항이 몇 개가 연결이 되어 있더라도 전압에는 영향이 없는 것입니다. 매우 중요한 개념입니다. 두 단자를 단락(Short)하면, $V_{OC}=V_R$이 되죠. 

$$I_{SC}=\frac{V_{OC}}{R_{th}} {\Rightarrow} R_{th}=\frac{V_{OC}}{I_{SC}}$$

$V_{OC}$와 $I_{SC}$를 알고 있으므로, 미지의 $R_{th}$를 구할 수 있게 됩니다. 여기에서 $V_{OC}$와 $R_{th}$를 이용하여 등가회로를 그리면 테브난의 등가회로(Thevnin's Equivalent), $I_{SC}$와 $R_{th}$를 이용하여 등가회로를 그리면 노턴의 등가회로(Norton's Equivalent)라고 합니다. 노턴의 등가회로는 왜 이렇게 표현이 되는지 한 번 생각해 보세요. 역시 개방전압과 단락전류로부터 생각을 해 보세요. 

왼쪽이 테브난의 등가회로(Thevnin's Equivalent), 오른쪽이 노턴의 등가회로(Norton's Equivalent)입니다.&amp;nbsp;

이렇게 이상적인 전압원과 직렬저항으로 나타내는 테브난의 등가회로는 비단 전지의 내부저항을 표현하는 데에만 쓰이는 것이 아닙니다. RF 회로를 다루는 경우에도 많이 볼 수 있고, 전력을 전달하는 모델에도 사용을 하게 됩니다.

Texas Instrument社의 LM7805라는 5V 출력을 위한 부품의 데이터시트에서 발췌한 내용입니다.&amp;nbsp;

Texas Instrument社의 LM7805라는 5V 출력용 전압 레귤레이터(Voltage Regulator)의 데이터시트를 살펴 보면 출력의 특성이 나와 있습니다. 출력 전류가 5mA에서 1A까지는 출력전압은 4.8V에서 5.2V 사이가 된다고 되어 있습니다. 1A까지는 안전하게 사용을 할 수 있겠네요. Short-circuit current(단락전류)라고 되어 있는 항목이 있죠? 2.1A로 되어 있는데, 출력전류가 1A가 넘어가면 등가저항(또는 내부저항)이 증가하면서 완전히 단락되는 경우에는 단락전류가 2.1A가 되어 이 상태에서의 등가저항은 약 2Ω이 조금 넘는다고 보면 되겠네요. 

전류예산(Current Budget)이라는 용어를 사용한 적이 있는데요, 이 전류예산(Current Budget)과 견주어 전원(Power Source)이 충분히 에너지를 공급할 수 있는지 잘 따져 보는 것이 필요합니다. 만약 전류예산이 1.5A인데, 위에서 본 LM7805로부터 전원을 공급하려고 한다면 문제가 되겠지요? 사용하고자하는 전원이 나의 회로를 구동시키기에 적합한 전원인지 살펴 보는 과정은 매우 중요한 과정입니다.